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每日一课:奥数知识点 —— 整除

发布者:管理员 发布时间:2021/1/14 9:53:15 阅读:240

例1:

一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,适合这些条件的最小数是______。

讲析:所求这个数分别除以3和7时,余数相同。

3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验,23除以5商4余3,23是本题的答案。



例2:

一个整数在3600到3700之间,它被3除余2,被5除余1,被7除余3。这个整数是__。


讲析:所求整数分别除以3、5、7以后,余数各不相同。但仔细观察可发现,当把这个数加上4以后,它就能同时被3、5、7整除了。

因为3、5和7的最小公倍数是105。

3600÷105=34余30,105-30=75,

所以,当3600加上75时,就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。



例3:

在一个两位数中间插入一个数字,就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数,是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。


讲析:因为插入一个数字后,所得的三位数是原两位数的9倍,且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。

又插入的一个数字,必须小于个位数字,否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0,而一定是5。

结合被9整除的数字特征,不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。



例4:

a是一个自然数,已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除,那么这样的自然数a最小是__。


讲析:a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时,若a的各位数字之和是7的倍数,则a+1的各位数字之和除以7以后,肯定余1。

只有当a的个位上是9时,a+1之后,个位上满十后向前一位进一,a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。

联想到69,69+1=70,经适当调整可得,符合条件的最小数a是69999。



例5:

一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1,再把第二次所得的商被8除后余7,最后得到的一个商是a[见图5.43(1)],又知这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到一个商是2a[见图5.43(2)],求这个自然数。



讲析:可从最后的商步步向前推算。

由图5.43(1)可得:第二次商是(8a+7);第一次商是8×(8a+7)+1=64a+57;所求的自然数是8×(64a+57)+1=512a+457

由图5.43(2)得,所求的自然数是578a+259

所以,512a+457=578a+259。

解得a=3。

故,这个自然数是512×3+457=1993。



例6:

某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数,并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数?


讲析:设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……,a+12。

因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除,所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。

而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720,所以六位数中,能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880

现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。

因为110880÷13,余数是12;27720÷13,余数是4。

也就是在110889的基础上,再加上n个27720之后的和,能被13整除的数,就是所求的数。

即12+4n,是13的倍数。

显然,当n=10时,12+4n是13的倍数。

所以,门牌号码是9的这家电话号码是:

110889+27720×10=388089。